Question

选修4-4：坐标系与参数方程
平面直角坐标系中，直线l的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为4ρ²cos2θ-4ρsinθ+3=0．
（Ⅰ）求直线l的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|．

Answer 1

【答案】分析：（I）将直线化成普通方程，可得它是经过原点且倾斜角为的直线，由此不难得到直线l的极坐标方程；
（II）将直线l的极坐标方程代入曲线C极坐标方程，可得关于ρ的一元二次方程，然后可以用根与系数的关系结合配方法，可以得到AB的长度．
解答：解：（I）直线l的参数方程是（t为参数），化为普通方程得：y=x
∴在平面直角坐标系中，直线l经过坐标原点，倾斜角是，
因此，直线l的极坐标方程是，（ρ∈R）；     …（5分）
（II）把代入曲线C的极坐标方程，得2ρ²+2-3=0
∴由一元二次方程根与系数的关系，得ρ₁+ρ₂=-，ρ₁ρ₂=-，
∴|AB|=|ρ₁-ρ₂|==3．  …（10分）
点评：本题以参数方程和极坐标方程为例，考查了两种方程的互化和直线与圆锥曲线的位置关系等知识点，属于基础题．