Question

如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面AA₁C₁C是面积为的菱形，∠ACC₁为锐角，侧面ABB₁A₁⊥侧面AA₁C₁C，且A₁B=AB=AC=1．
（Ⅰ）求证：AA₁⊥BC₁；
（Ⅱ）求三棱锥A₁-ABC的体积．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）要证：AA₁⊥BC₁，先说明△AA₁B是等边三角形，设D是AA₁的中点、连接BD，C₁D，证明AA₁⊥平面BC₁D，即可．
（Ⅱ）求三棱锥A₁-ABC的体积．转化为B-AA₁C的体积，求出底面面积和高即可求解．
解答：证明（1）：因为四边形AA₁C₁C是菱形，所以有AA₁=A₁C₁=C₁C=CA=1．
从而知△AA₁B是等边三角形．（2分）
设D是AA₁的中点、连接BD，C₁D，
则BD⊥AA₁，由=．
知C₁到AA₁的距离为．∠AA₁C₁=60°，
所以△AA₁C₁是等边三角形，（4分）
且C₁D⊥AA₁，所以AA₁⊥平面BC₁D．（6分）
又BC₁?平面BC₁D，故AA₁⊥BC₁．（7分）
（2）由（1）知BD⊥AA₁，又侧面ABB₁A₁⊥侧面AA₁C₁C，
所以BD⊥平面AA₁C₁C，
即B到平面AA₁C₁C的距离为BD．（9分）
又=，BD=．
所以==_•BD=××=．（13分）
故三棱锥A₁-ABC的体积为．（14分）
点评：本题考查直线与平面的垂直，棱锥的体积，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．