Question

已知数列{a_n}中的相邻两项a_2k-1，a_2k是关于x的方程x²-（3k+2^k）x+3k•2^k=0的两个根，且a_2k-1≤a_2k（k=1，2，3，…）．
（I）求a₁，a₃，a₅，a₇；
（II）求数列{a_n}的前2n项和S_2n；
（Ⅲ）记，，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）用解方程或根与系数的关系表示a_2k-1，a_2k，k赋值即可．
（2）由S_2n=（a₁+a₂）+…+（a_2n-1+a_2n）可分组求和．
（3）T_n复杂，常用放缩法，但较难．
解答：解：（I）解：方程x²-（3k+2^k）x+3k•2^k=0的两个根为x₁=3k，x₂=2^k，
当k=1时，x₁=3，x₂=2，所以a₁=2；
当k=2时，x₁=6，x₂=4，所以a₃=4；
当k=3时，x₁=9，x₂=8，所以a₅=8时；
当k=4时，x₁=12，x₂=16，所以a₇=12．
（II）解：S_2n=a₁+a₂++a_2n=（3+6++3n）+（2+2²++2ⁿ）=．
（III）证明：，
所以，．当n≥3时，，=，
同时，=．
综上，当n∈N*时，．
点评：本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．本题属难题，一般要求做（1），（2）即可，让学生掌握常见方法，对（3）不做要求．