Question

已知数列{a_n}中的相邻两项a_2k-1、a_2k是关于x的方程x²-（3k+2^k）x+3k•2^k=0的两个根，且a_2k-1≤a_2k（k=1，2，3，…）．
（I）求a₁，a₃，a₅，a₇及a_2n（n≥4）（不必证明）；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前2n项和S_2n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先因式分解求得方程的两根，由条件a_2k-1≤a_2k写出当k=1，2，3，4时相邻两项，
（Ⅱ）由（1），寻找规律，得到数列{a_n}中的相邻两项a_2k-1、a_2k的通项，最后采用分组求和的方法求数列{a_n}的前2n项和S_2n

解答：解：（I）解：易求得方程x²-（3k+2^k）x+3k•2^k=0的两个根为x₁=3k，x₂=2^k．
当k=1时x₁=3，x₂=2，所以a₁=2，a₂=3
当k=2时，x₁=6，x₂=4，所以a₃=4，a₄=6
当k=3时，x₁=9，x₂=8，所以a₅=8，a₆=9
当k=4时，x₁=12，x₂=16，所以a₇=12，a₈=16
因为n≥4时，2ⁿ＞3n，所以a_2n-1=3（2n-1），a_2n=2ⁿ（n≥4）
（Ⅱ）S_2n=a₁+a₂+…+a_2n=（3+6+…+3n）+（2+2²+…+2ⁿ）
=

3n2+3n

2

+2n+1-2

点评：本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．对于此类问题要认真审题、冷静解析，加上扎实的基本功就可以解决问题．