Question

如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点，
（Ⅰ）证明A，P，O，M四点共圆；
（Ⅱ）求∠OAM+∠APM的大小。

Answer 1

（Ⅰ）证明：连结OP，OM， 因为AP与⊙O相切于点P， 所以OP⊥AP， 因为M是⊙O的弦BC的中点， 所以OM⊥BC， 于是∠OPA+∠OMA=180°， 由圆心O在的内部， 可知四边形APOM的对角互补， 所以A，P，O，M四点共圆。 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A，P，O，M四点共圆， 所以∠OAM=∠OPM， 由（Ⅰ）得OP⊥AP， 由圆心O在的内部， 可知∠OPM+∠APM=90°， 所以∠OAM+∠APM=90°。