Question

【题目】已知函数.

（1）讨论极值点的个数；

（2）若有两个极值点，，且，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）当时，有两个极值点；

当时，没有极值点.

（2）

【解析】

（1）根据的根的情况，对的值进行讨论，从而得出极值点的个数；

（2）由（1）得，借助此等式将不等式中的进行换元，构造出新函数，研究其性质，得出的取值范围.

（1）由，

得.

令，得，

即，

令，则，且，

由得.

当时，，在单调递增；

当时，，在单调递减.

所以，，

且当时，；当时，.

所以，当，

方程有两解，不妨设为

故当时，，故单调递减，

当时，，故单调递增，

当时，，故单调递减，

即时，有两个极值点；

当，恒成立，故单调递减，

即时，没有极值点.

（2）不妨设，

由（1）知，，

则，

两边取对数，所以，

所以，

即.

令，，

则，.

因为，

即，

所以，

即，

设，则，

且.

易知.记，则，

且，

考查函数，.

①当时，，

则，即，

所以在上单调递减，

所以当时，，

所以当时符合题意.

②当时，，

有两个不同零点，，且，，

不妨设，则，

当时，，则，

所以在上单调递增，

故存在，使得，

所以，当时，不符合题意，

综上，的取值范围是.