Question

【题目】在△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，cos = ，且acosB+bcosA=2，则△ABC的面积的最大值为 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：∵cos = ，
∴cosC=2cos2 ﹣1=2（ ）2﹣1= ；
∵acosB+bcosA=2，
∴a× +b× =2，
∴c=2，…（9分）
∴4=a2+b2﹣2ab× ≥2ab﹣2ab× = ab，
∴ab≤ （当且仅当a=b= 时等号成立）
由cosC= ，得sinC=
∴S△ABC= absinC≤ × × = ，
故△ABC的面积最大值为
所求的式子cosC利用二倍角的余弦函数公式化简后，将已知的cos 的值代入即可求出cosC值，利用余弦定理分别表示出cosB和cosA，代入到已知的等式中，化简后即可求出c的值，然后利用余弦定理表示出c2=a2+b2﹣2abcosC，把c及cosC的值代入后，利用基本不等式即可求出ab的最大值，然后由cosC的值，及C的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把ab的最大值及sinC的值代入即可求出面积的最大值．