Question

5．已知函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}，（x≤0）}\\{\sqrt{4-{x^2}}（x＞0）}\end{array}}$，则$\int_{-1}^2{f（x）dx}$=$π+\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 $\int_{-1}^2{f（x）dx}$=${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx+${∫}_{-1}^{0}$x²dx，根据定积分的计算和定积分的几何意义，计算即可．

解答 解：$\int_{-1}^2{f（x）dx}$=${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx+${∫}_{-1}^{0}$x²dx，
因为${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx表示以原点为圆心，以2为半径的圆的面积的四分之一，所以${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx=$\frac{1}{4}$×2²π=π，
${∫}_{-1}^{0}$x²dx=$\frac{1}{3}{x}^{3}$|${\;}_{-1}^{0}$=$\frac{1}{3}$，
所以$\int_{-1}^2{f（x）dx}$=${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx+${∫}_{-1}^{0}$x²dx=π+$\frac{1}{3}$
故答案为：$π+\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了定积分的计算和定积分的几何意义，属于基础题．