题目内容
20．己知曲线f（x）=$\frac{2}{3}$x3-x2+ax-1存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为（3，$\frac{7}{2}$）．分析 求得导数，由题意可得2x2-2x+a=3，即2x2-2x+a-3=0有两个不相等的正根，运用判别式大于0，韦达定理，解不等式即可得到所求范围．
解答 解：f（x）=$\frac{2}{3}$x3-x2+ax-1的导数为f′（x）=2x2-2x+a，
由题意可得2x2-2x+a=3，即2x2-2x+a-3=0有两个不相等的正根，
则△=4-8（a-3）＞0，a-3＞0，
解得3＜a＜$\frac{7}{2}$．
故答案为：（3，$\frac{7}{2}$）．
点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，注意运用导数的几何意义和二次方程的实根的分布，考查运算能力，属于基础题．
练习册系列答案
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如图，在△ABC中，$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$，BN与CM交于点E，若$\overrightarrow{AE}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，则x+y=$\frac{5}{11}$．