Question

【题目】已知函数

（1）讨论的单调性；

（2）若，不等式对恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）.

【解析】

（1）先对函数进行求导得，再对进行分类讨论，解导数不等式，从而得到函数的单调区间；

（2）由，将对恒成立等价于对恒成立.构造函数，取，则，进而得到函数的最小值为2，即可得到到的取值范围.

（1）.

当时，令，得；令，得.

所以的单调递减区间为，单调递增区间为.

当时令，得；令，得.

所以的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2）因为，所以对恒成立等价于对恒成立.设，，

令，得；令，得.

所以，所以.取，

则，即，

所以.

设，因为，，

所以方程必有解，

所以当且仅当时，函数得最小值，且最小值为2，所以，即m的取值范围为，