Question

已知曲线y=

1

3

x3+

4

3

，求曲线过点P（2，4）的切线方程．

Answer 1

分析：设出曲线过点P切线方程的切点坐标，把切点的横坐标代入到导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和表示出的斜率，写出切线的方程，把P的坐标代入切线方程即可得到关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点横坐标的值，分别代入所设的切线方程即可．

解答：解：设曲线y=

1

3

x3+

4

3

，与过点P（2，4）的切线相切于点A（x₀，

1

3

x

3 0

+

4

3

），
则切线的斜率 k=y′|_x=x0=x₀²，
∴切线方程为y-（

1

3

x

3 0

+

4

3

）=x₀²（x-x₀），
即 y=x₀²•x-

2

3

x₀³+

4

3

∵点P（2，4）在切线上，
∴4=2x₀²-

2

3

x₀³+

4

3

，即x₀³-3x₀²+4=0，
∴x₀³+x₀²-4x₀²+4=0，
∴（x₀+1）（x₀-2）²=0
解得x₀=-1或x₀=2
故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0．

点评：此题考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，是一道综合题．学生在解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”；同时解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决．