题目内容

已知对任意平面向量 $数学公式$ =（x，y），我们把 $数学公式$ 绕其起点A沿逆时针方向旋转θ角得到向量 $数学公式$ =（xcosθ-ysinθ，xsinθ+ycosθ），称为 $数学公式$ 逆旋θ角到 $数学公式$ ．
（1）把向量 $数学公式$ =（2，-1）逆旋 $数学公式$ 角到 $数学公式$ ，试求向量 $数学公式$ ．
（2）设平面内函数y=f （x）图象上的每一点M，把 $数学公式$ 逆旋 $数学公式$ 角到 $数学公式$ 后（O为坐标原点），得到的N点的轨迹是曲线x²-y²=3，当函数F （x）=λ f （x）-|x-1|+2有三个不同的零点时，求实数λ的取值范围．

解：（1）由题意， $\text{[math]}$ =（2cos $\text{[math]}$ +sin $\text{[math]}$ ，2sin $\text{[math]}$ -cos $\text{[math]}$ ）=（ $\text{[math]}$ ）；

（2）设M（x，y），N（x₀，y₀），则x₀²-y₀²=3
∵ $\text{[math]}$ 逆旋 $\text{[math]}$ 角到 $\text{[math]}$ ，∴（xcos $\text{[math]}$ -ysin $\text{[math]}$ ，xsin $\text{[math]}$ +ycos $\text{[math]}$ ）=（x₀，y₀），
∴x₀= $\text{[math]}$ ，y₀= $\text{[math]}$ ，
∵x₀²-y₀²=3，∴可得y=- $\text{[math]}$ ，即f（x）=- $\text{[math]}$
函数F （x）=λ f （x）-|x-1|+2有三个不同的零点，等价于 $\text{[math]}$ =x|x-1|-2x（x≠0）有三个不同实数解．
设g（x）=x|x-1|-2x= $\text{[math]}$ ，图象如图
∵ $\text{[math]}$ =x|x-1|-2x（x≠0）有三个不同实数解
∴ $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ≠0
∴ $\text{[math]}$ ，且λ≠0．
分析：（1）利用新定义，结合向量 $\text{[math]}$ =（2，-1）逆旋 $\text{[math]}$ 角到 $\text{[math]}$ ，可求向量 $\text{[math]}$ ；
（2）由题意函数F （x）=λ f （x）-|x-1|+2有三个不同的零点，等价于 $\text{[math]}$ =x|x-1|-2x（x≠0）有三个不同实数解，结合函数的图象可得结论．
点评：本题考查新定义，考查数形结合的数学思想，考查学生的计算能力，属于基础题．