Question

已知对任意平面向量

AB

=（x，y），把

AB

绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量

AP

=（xcosθ-ysinθ，xsinθ+ycosθ），叫做把点B绕点A逆时针方向旋转θ角得到点P．设平面内曲线C上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转

π

4

后得到点的轨迹是曲线x²-y²=2，则原来曲线C的方程是

 

．

Answer 1

分析：设平面内曲线C上的点P（x，y），根据把点B绕点A逆时针方向旋转θ角得到点P的定义，可求出其绕原点沿逆时针方向旋转

π

4

后得到点P′（

2

2

(x-y)，

2

2

(x+y)），另由点P′在曲线x²-y²=2上，代入该方程即可求得原来曲线C的方程．

解答：解：设平面内曲线C上的点P（x，y），则其绕原点沿逆时针方向旋转

π

4

后得到点P′（

2

2

(x-y)，

2

2

(x+y)），
∵点P′在曲线x²-y²=2上，
∴(

2

2

(x-y) )²-(

2

2

(x+y))²=2，
整理得xy=-1．
故答案为：xy=-1．

点评：此题是基础题．考查向量在几何中的应用以及圆锥曲线的轨迹问题，同时考查学生的阅读能力和分析解决问题的能力以及计算能力．