Question

（本小题满分13分）
已知函数，．
（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）当，且时，证明：．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）当时，由，得．当时，，单调递增；当时，，单调递减（Ⅲ）见解析

（Ⅰ）函数的定义域为，
．…………………………………………………………2分
又曲线在点处的切线与直线垂直，
所以，
即．………………………………………………………………………4分
（Ⅱ）由于．
当时，对于，有在定义域上恒成立，
即在上是增函数．
当时，由，得．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．……………………………8分
（Ⅲ）当时，  ．
令．
．………………………………10分
当时，，在单调递减．
又，所以在恒为负．
所以当时，．
即．
故当，且时，成立．………………………………13分