题目内容
4．已知数列{an}的通项公式an=Atn-1+Bn+1，其中A，B，t为常数，且t＞1，n∈n+，等式（x2+2x+2）10=b0+b1（x+1）+b2（x+1）2+…+b20（x+1）20，其中bi（i=1，2，3…，20）为实常数．（1）若A=0，B=1，求$\sum_{n=1}^{10}$anbn．
（2）若A=1，B=0，且$\sum_{n=1}^{10}$（2an-2n）b2n=211-2，求实数t的值．
分析 （1）利用二项式展开定理比较可知b2n=${C}_{10}^{n}$（n=0，1，2，…，10），b2n-1=0（n=0，1，2，…，10），进而T=$\sum_{n=1}^{10}$n${C}_{10}^{n}$=0•${C}_{10}^{0}$+1•${C}_{10}^{1}$+2•${C}_{10}^{2}$+…+10•${C}_{10}^{10}$，利用倒序相加法、化简可知T=5•210，进而计算可得结论；
（2）结合（1）中结论、化简可知$\frac{2}{t}$（1+t）10-$\frac{2}{t}$-310+1=0，进而计算可得结论．
解答 解：（1）（x2+x+2）10=[1+（x+1）2]10
=${C}_{10}^{0}$+${C}_{10}^{1}$（x+1）2+${C}_{10}^{2}$（x+1）4+…+${C}_{10}^{10}$（x+1）20
=b0+b1（x+1）+b2（x+1）2+…+b20（x+1）20，
比较可知：b2n=${C}_{10}^{n}$（n=0，1，2，…，10），
b2n-1=0（n=0，1，2，…，10），
而A=0、B=1时，an=Atn-1+Bn+1=n+1，
∴$\sum_{n=1}^{10}$anbn=$\sum_{n=1}^{10}$anb2n=（n+1）${C}_{10}^{n}$=$\sum_{n=1}^{10}$n${C}_{10}^{n}$+$\sum_{n=1}^{10}$${C}_{10}^{n}$，
记T=$\sum_{n=1}^{10}$n${C}_{10}^{n}$=0•${C}_{10}^{0}$+1•${C}_{10}^{1}$+2•${C}_{10}^{2}$+…+10•${C}_{10}^{10}$，
另外也可写成T=$\sum_{n=1}^{10}$n${C}_{10}^{n}$=10•${C}_{10}^{10}$+…+2•${C}_{10}^{2}$+1•${C}_{10}^{1}$+0•${C}_{10}^{0}$，
两式相加得：2T=10•${C}_{10}^{10}$+…+10•${C}_{10}^{2}$+10•${C}_{10}^{1}$+10•${C}_{10}^{0}$
=10•（${C}_{10}^{10}$+…+${C}_{10}^{2}$+${C}_{10}^{1}$+${C}_{10}^{0}$）
=10•210，
即T=5•210，
∴$\sum_{n=1}^{10}$anbn=$\sum_{n=1}^{10}$n${C}_{10}^{n}$+$\sum_{n=1}^{10}$${C}_{10}^{n}$=5•210+210-1=6143；
（2）当A=1、B=0时，an=Atn-1+Bn+1=tn-1+1，
结合（1）中结论可知：$\sum_{n=1}^{10}$（2an-2n）b2n=2$\sum_{n=1}^{10}$anb2n-$\sum_{n=1}^{10}$2nb2n
=2$\sum_{n=1}^{10}$anb2n-$\sum_{n=1}^{10}$2nb2n …①
=2[$\frac{1}{t}$（1+t）10-1+210-1]-[（1+2）10-1]
=$\frac{2}{t}$（1+t）10-$\frac{2}{t}$+211-2-310+1
=211-2，
即$\frac{2}{t}$（1+t）10-$\frac{2}{t}$-310+1=0，…②
∵①为关于t的递增的式子，
∴关于t的方程最多只有一解，
而观察②可知，有一解t=2，
综上可知：t=2．
点评 本题考查数列的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误，注意解题方法的积累，属于中档题．
