Question

【题目】已知数列{an}满足 ，an+1bn=bn+1an+bn ， 且 （n∈N*），则数列{an}的前2n项和S2n取最大值时，n= ．

Answer 1

【答案】8
【解析】解：由 （n∈N*），则bn= ， 由an+1bn=bn+1an+bn ， 当n=2k﹣1（k∈N*）为奇数时，﹣2a2k=3a2k﹣1﹣2，
当n=2k（k∈N*）为偶数时，3a2k+1=﹣2a2k+3，
∴3a2k+1=3a2k﹣1+1，
∴a2k+1﹣a2k﹣1= ．因此数列{a2k﹣1}成等差数列，公差为 ，首项为﹣ ．
∴ a2k﹣1= + = ﹣ ．
同理可得：a2k+2﹣a2k=﹣ ．因此数列{a2k}成等差数列，公差为﹣ ，首项为 ．
∴ = ×n﹣ × = +2n．
∴S2n= ﹣ +2n=﹣ + n=﹣ （n﹣8）2+ ．
∴当n=8时，数列{an}的前2n项和S2n取最大值 时．
所以答案是：8．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用数列的前n项和的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．