Question

若不等式x²+px+1＞2x+p对满足|p|≤2的所有实数p都成立，则x的取值范围是

（-∞，-1）∪（3，+∞）

．

Answer 1

分析：将原不等式移项，得出x²+px+1-2x-p＞0 整理（x-1）p+（x-1）^{2 _＞0}，将不等式的左边看作关于p的一次函数（即p为自变量，x为待定常数），由已知，须f（p）＞0在[-2，2]上恒成立，然后根据|p|≤2可得函数的端点的纵坐标都是正数，从而可得出f（-2）＞0，f（2）＞0，解出即可．

解答：解：将原不等式移向得x²+px+1-2x-p＞0，左端看作p的一次函数，f（p）=（x-1）p+（x-1）²，由已知，须f（p）＞0在[-2，2]上恒成立，
由一次函数的单调性，只需
 

f(-2)=(x-1)(x-3)＞0 f(2)=(x-1)(x+1)＞0

即可．
∴

x＜-1或x＞3 x＜-1或x＞1

，
解得：x＜-1或x＞3．
故答案为：（-∞，-1）∪（3，+∞）

点评：本题考查了一元二次不等式的知识，在解答本题时运用了函数思想，采用了变更主元的策略．函数思想是数学求解中常用的一种方法．