Question

设F₁，F₂为双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过坐标原点O的直线与双曲线C在第一象限内交于点P，若|PF₁|+|PF₂|=6a，且△PF₁F₂为锐角三角形，则直线OP斜率的取值范围是（　　）

• A、(

  2 3

  3

  ，

  4

  3

  )
• B、(

  4

  3

  ，

  3

  )
• C、(1，

  2 3

  3

  )
• D、(

  2 3

  3

  ，

  2

  )

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：首先，设直线OP的方程，然后根据双曲线的定义，并结合条件|PF₁|+|PF₂|=6a，求解|PF₁|和|PF₂|的值，然后，根据△PF₁F₂为锐角三角形，联立方程组写出相应的点P的坐标，最后限制范围即可．

解答： 解：∵|PF₁|+|PF₂|=6a，
|PF₁|-|PF₂|=2a，
∴|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，
∵|F₁F₂|=2c，
∵△PF₁F₂为锐角三角形，
∴

(4a)2+(2a)2-(2c)2＞0 (4a)2+(2c)2-(2a)2＞0 (2a)2+(2c)2-(4a)2＞0

，
∴

5a2-c2＞0 3a2+c2＞0 c2-3a2＞0

，
∴

3

＜e＜

5

，
∴3＜1+（

b

a

）²＜5，
∴

2

＜

b

a

＜2，
欲使得过坐标原点O的直线与双曲线C在第一象限内交于点P，
∴k∈（

2 3

3

，

4

3

）．
故选：A．

点评：本题重点考查了双曲线的标准方程、几何性质、直线与双曲线的位置关系等知识，属于中档题．解题关键是理解直线与双曲线的位置关系处理思路和方法．