题目内容

设椭圆C： $数学公式$ （a，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，若P 是椭圆上的一点， $数学公式$ ，离心率 $数学公式$ ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P 是第一象限内该椭圆上的一点， $数学公式$ ，求点P的坐标；
（3）设过定点P（0，2）的直线与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ，离心率 $\text{[math]}$
∴2a=4，e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴a=2，c= $\text{[math]}$
∴b²=1
∴椭圆C的方程为 $\text{[math]}$
（2）由（1）可得 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ）（ $\text{[math]}$ ）+（-y）（-y）
=x²+y²-3
= $\text{[math]}$ -3
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵x＞0
∴x=1
∵y＞0
∴y= $\text{[math]}$ ，故P（1， $\text{[math]}$ ）
（3）显然直线x=0不满足题设，可设直线y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立 $\text{[math]}$ 整理可得，（ $\text{[math]}$ ）x²+4kx+3=0
∴x₁+x₂=- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4= $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$ 可得，k $\text{[math]}$ 或k $\text{[math]}$
∵∠AOB为锐角
∴ $\text{[math]}$ ＞0
∴ $\text{[math]}$
∴-2＜k＜2
综上可得， $\text{[math]}$ 或-2 $\text{[math]}$
分析：（1）由 $\text{[math]}$ ，结合椭圆定义可求a，由离心率 $\text{[math]}$ 可求c，然后求出b即可求解椭圆C的方程
（2）由（1）的条件先表示 $\text{[math]}$ ，然后结合椭圆方程及二次函数的性质可求
（3）由题意可设直线y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线与椭圆方程可得x₁+x₂，x₁x₂，然后可求
y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2），由 $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ ＞0可求k的范围
点评：本题主要考查了由椭圆性质求解椭圆的方程，向量的数量积的坐标表示，直线与椭圆相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，属于圆锥曲线的综合应用．