Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x³+mx²+（1-m）x．
（I）当m=2时，求f（x）的解析式；
（II）设曲线y=f（x）在x=x₀处的切线斜率为k，且对于任意的x₀∈[-1，1]-1≤k≤9，求实数m的取值范围．

Answer 1

（I）∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0．
当x＞0时，f（x）=2x³+mx²+（1-m）x．
当x＜0时，∵f（x）=-f（-x）∴f（x）=-（-2x³+mx²-（1-m）x）=2x³-mx²+（1-m）x∴f(x)=

2x3+mx2+(1-m)x(x≥0) 2x3-mx2+(1-m)x(x＜0)

．
当m=2时，∴f(x)=

2x3+2x2-x，(x≥0) 2x3-2x2-x(x＜0)

（Ⅱ）由（I）得：∴f′(x)=

6x2+2mx+(1-m)，(x≥0) 6x2-2mx+(1-m)，(x＜0)

曲线y=f（x）在x=x₀处的切线斜率，对任意的x₀∈[-1，1]，总能不小于-1且不大于9，
则在任意x₀∈[-1，1]时，-1≤f'（x）≤9恒成立，
∵f'（x）是偶函数
∴对任意x₀∈（0，1]时，-1≤f'（x₀）≤9恒成立
1⁰当-

m

6

≤0时，由题意得

f′(0)≥-1 f′(1)≤9

∴0≤m≤2
2⁰当0＜-

m

6

≤1时
∴

f′(- m 6 ) ≥-1 f′(0)≤9 f′(0)≤9

∴-6≤m＜0
3⁰当-

m

6

＞1时∴

f′(0)≤9 f′(1)≥-1

∴-8≤m＜-6
综上：-8≤m≤2
∴实数m的取值范围是{m|-8≤m≤2}．