Question

19．设α、β是二次方程x²-2kx+k+20=0的两个实数根，求（α+1）²+（β+1）²的最小值，并指出取得取小值时k的值．

Answer 1

分析 由题意利用韦达定理、二次函数的性质，求得（α+1）²+（β+1）² 的得最小值．

解答 解：由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{△={4k}^{2}-4（k+20）≥0}\\{α+β=2k}\\{α•β=k+20}\end{array}\right.$，∴k≥5，或 k≤-4．
∴（α+1）²+（β+1）² =α²+β²+2α+2β+2=（α+β）²+2（α+β）-2αβ+2
=4k²+2•2k-2（k+20）+2=4k²+2k-38=${（2k+\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{153}{4}$，
故当k=-4时，（α+1）²+（β+1）²取得最小值为18．

点评 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．