Question

11．已知f（x）=5cos²x+sin²x-4$\sqrt{3}$sinxcosx．
（1）化简f（x）的关系式，并求f（x）的最小正周期．
（2）当x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]时，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=4cos（2x+$\frac{π}{3}$）+3，利用周期公式可求f（x）的最小正周期．
（2）由x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，可求2x+$\frac{π}{3}$∈[0，$\frac{5π}{6}$]，利用余弦函数的图象和性质即可解得f（x）的值域．

解答 解：（1）∵f（x）=5cos²x+sin²x-4$\sqrt{3}$sinxcosx
=1+4×$\frac{1+cos2x}{2}$-2$\sqrt{3}$sin2x
=2cos2x-2$\sqrt{3}$sin2x+3
=4（$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x）+3
=4cos（2x+$\frac{π}{3}$）+3，
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
（2）∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，
∴2x+$\frac{π}{3}$∈[0，$\frac{5π}{6}$]，
∴cos（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，可得f（x）=4cos（2x+$\frac{π}{3}$）+3∈[3-2$\sqrt{3}$，7]．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦函数的图象和性质的应用，属于基础题．