Question

一个函数f(x),如果对任意一个三角形,只要它的三边长a,b,c都在f(x)的定义域内,就有f(a),f(b),f(c)也是某个三角形的三边长,则称f(x)为“保三角形函数”.

(1)判断f₁(x)=,f₂(x)=x,f₃(x)=x²中,哪些是“保三角形函数”,哪些不是,并说明理由;

(2)如果g(x)是定义在R上的周期函数,且值域为(0,+∞),证明g(x)不是“保三角形函数”;

(3)若函数F(x)=sinx,x∈(0,A)是“保三角形函数”,求A的最大值.

(可以利用公式sinx+siny=2sincos)

Answer 1

(1)解:f₁(x),f₂(x)是“保三角形函数”,f₃(x)不是“保三角形函数”.

任给三角形,设它的三边长分别为a,b,c,则a+b＞c,不妨假设a≤c,b≤c,

由于+＞＞＞0,所以f₁(x),f₂(x)是“保三角形函数”.

对于f₃(x),3,3,5可作为一个三角形的三边长,但3²+3²＜5²,所以不存在三角形以3²,3²,5²为三边长,故f₃(x)不是“保三角形函数”.

(2)证明:设T＞0为g(x)的一个周期,由于其值域为(0,+∞),所以,存在n＞m＞0,使得g(m)=1,g(n)=2.

取正整数λ＞,可知λT+m,λT+m,n这三个数可作为一个三角形的三边长,但g(λT+m)=1,g(λT+m)=1,g(n)=2不能作为任何一个三角形的三边长.

故g(x)不是“保三角形函数”.

(3)解:A的最大值为.

一方面,若A＞,下证F(x)不是“保三角形函数”.

取,,∈(0,A),显然这三个数可作为一个三角形的三边长,但sin=1,sin=,sin=不能作为任何一个三角形的三边长,故F(x)不是“保三角形函数”.

另一方面,以下证明A=时,F(x)是“保三角形函数”.

对任意三角形的三边a,b,c,若a,b,c∈(0,),则分类讨论如下:

①a+b+c≥2π,

此时a≥2π-b-c＞2π=,同理,b,c＞,

∴a,b,c∈(,),故sina,sinb,sinc∈(,1］,

sina+sinb＞+=1≥sinc.

同理可证其余两式.

∴sina,sinb,sinc可作为某个三角形的三边长.

②a+b+c＜2π.

此时,＜π,可得如下两种情况:

≤时,由于a+b＞c,∴0＜＜≤.

由sinx在(0,］上的单调性可得0＜sin＜sin≤1;

＞时,0＜＜π＜,同样,由sinx在［0,］上的单调性可得0＜sin＜sin＜1.

总之,0＜sin＜sin≤1.

又由|a-b|＜c＜及余弦函数在(0,π)上单调递减,得cos=cos＞cos＞cos＞0,

∴sina+sinb=2sincos＞2sincos=sinc.

同理可证其余两式,所以sina,sinb,sinc也是某个三角形的三边长.故A=时,F(x)是“保三角形函数”.

综上,A的最大值为.

说明:其他正确解法按相应步骤给分.