Question

在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：（a＞0），过点P（－2，－4）的直线l的参数方程为（t为参数），l与C分别交于M，N.

（1）写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；

（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值.

Answer 1

y2＝2ax（a＞0），x－y－2＝0．a＝1．

【解析】

试题分析：（1）曲线C的直角坐标方程为y2＝2ax（a＞0）；

直线l的普通方程为x－y－2＝0． 4分

（2）将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立，得

t2－2（4＋a） t＋8（4＋a）＝0 （*）

△＝8a（4＋a）＞0．

设点M，N分别对应参数t1，t2，恰为上述方程的根．

则|PM|＝|t1|，|PN|＝|t2|，|MN|＝|t1－t2|．

由题设得（t1－t2）2＝|t1t2|，即（t1＋t2）2－4t1t2＝|t1t2|．

由（*）得t1＋t2＝2（4＋a） ，t1t2＝8（4＋a）＞0，则有

（4＋a）2－5（4＋a）＝0，得a＝1，或a＝－4．

因为a＞0，所以a＝1． 10分

考点：本题考查极坐标和参数方程

点评：（1）利用极坐标与普通方程的关系式，可得C为抛物线方程，消去参数t，可得直线l的方程；（2）由|PM|＝|t1|，|MN|＝|t1－t2|，|PN|＝|t2|成等比数列，可转化为关于a的等量关系求解.