题目内容

（平）定义在R上的函数f（x）满足 $数学公式$ ，且当0≤x₁＜x₂≤1时，有f（x₁）≤f（x₂），则f（ $数学公式$ ）等于

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

C
分析：令x=1，由f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，求得f（1）=1，令x=1，反复利用f（ $\text{[math]}$ x ）= $\text{[math]}$ f（x），可得f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，再令x= $\text{[math]}$ ，由f（x）+f（1-x）=1，可求得f（ $\text{[math]}$ ），同理反复利用f（ $\text{[math]}$ x ）= $\text{[math]}$ f（x），可得f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，可求f（ $\text{[math]}$ ），进而可求f（ $\text{[math]}$ ）
解答：：∵f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，
令x=1得：f（1）=1，
又f（ $\text{[math]}$ x ）= $\text{[math]}$ f（x），
∴当x=1时，f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ f（1）= $\text{[math]}$ ；
令x= $\text{[math]}$ ，由f（ $\text{[math]}$ x ）= $\text{[math]}$ f（x）
f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ；
同理可求：f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ；
f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ；
f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ①
再令x= $\text{[math]}$ ，由f（x）+f（1-x）=1，可求得f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
令x= $\text{[math]}$ ，反复利用f（ $\text{[math]}$ x ）= $\text{[math]}$ f（x）
可得f（ $\text{[math]}$ ）=）= $\text{[math]}$ f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ；
f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ；
…
f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ②
由①②可得：f（ $\text{[math]}$ ）=f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
∵当0≤x₁＜x₂≤1时，有f（x₁）≤f（x₂），
而0＜ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ＜1
所以有f（ $\text{[math]}$ ）≥f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
f（ $\text{[math]}$ ）≤f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$
∴f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$
∴f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$
故选C
点评：本题考查抽象函数及其应用，难点在于利用f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，两次赋值后都反复应用f（ $\text{[math]}$ x）= $\text{[math]}$ f（x），从而使问题解决，属于难题．