Question

定义在R上的函数f（x）满足条件：f（x+4）=f（x），当x∈[2，6]时，f(x)=(

1

2

)|x-m|+n，且f（4）=31．
（1）求证：f（2）=f（6）；（2）求m，n的值；（3）比较f（log₃m）与f（log₃n）的大小．

Answer 1

分析：（1）直接利用f（x+4）=f（x）将x=2代入即得：f（2）=f（6）
（2）由

f(4)=31 f(2)=f(6)

代入数据，解得

m=4 n=30

即可；
（3）先计算出log₃4+4的范围，再利用f（x+4）=f（x）进行化简求值，最后结合对数函数的单调性与特殊点即可比较大小．

解答：解：（1）证明：∵f（x+4）=f（x）∴f（2）=f（6）…（4分）
（2）解：由

f(4)=31 f(2)=f(6)

得

( 1 2 )|4-m+n=31 ( 1 2 )|2-m+n=( 1 2 )|6-m+n

，解得

m=4 n=30

…（10分）
（3）解：∵log₃4∈（1，2）∴log₃4+4∈（5，6）
∴f(log34)=f(log34+4)=(

1

2

)|log34+4-4|+30=(

1

2

)log34+30∵log₃30∈（3，4）
∴f(log330)=(

1

2

)|log330-4|+30=(

1

2

)4-log330+30=(

1

2

)log3

27

10

+30∵log3

27

10

＜log34
∴(

1

2

)log3

27

10

＞(

1

2

)log34∴(

1

2

)log3

27

10

+30＞(

1

2

)log34+30
∴f（log₃4）＜f（log₃30）即f（log₃m）＜f（log₃n）…（16分）

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数解析式的求解及常用方法、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．