Question

【题目】已知椭圆：，动直线l与椭圆E交于不同的两点，，且△AOB的面积为1，其中O为坐标原点.

（1）证明：为定值；

（2）设线段AB的中点为M，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）最大值为.

【解析】

（1）当直线l的斜率不存在时，设l：x＝m，代入椭圆方程求解，结合△AOB的面积为1求得m值，可得为定值4，当直线l的斜率存在时，设，联立椭圆方程，可得A，B横坐标的和与积，利用弦长公式求弦长，再由点到直线的距离公式求得到直线的距离，结合△AOB的面积为1，可得，则的值可求，从而说明为定值；

（2）设，当直线的斜率不存在时，，，则|；当直线的斜率存在时，由（1）可得M的坐标，求得，写出，结合转化为关于的二次函数求最值.

（1）当直线l的斜率不存在，设l：x＝m

代入椭圆方程，得，即

由△AOB的面积为1，可得，

解得：，则；

当直线l的斜率存在，设，

联立，

化简整理可得，

设，，

可得，，

，

由△AOB的面积为1，可得，

化简可得，

则

，

而，

综上可得，为定值4；

（2）设，

当直线的斜率不存在时，，

，则|；

当直线的斜率存在时，由（1）可得，

，

则，

可得

.

∵，∴.

可知.

综上，的最大值为.