Question

11．已知函数f（x）=|mx+1|-|x-1|．
（Ⅰ）若m=1，求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）若m=-2，解不等式f（x）≥1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据绝对值的性质得到f（x）的最大值即可；（Ⅱ）通过讨论x的范围，解各个区间上的x的范围，取并集即可．

解答 解：（Ⅰ）m=1时，f（x）=|x+1|-|x-1|≤|（x+1）-（x-1）|=2，
当且仅当（x+1）（x-1）≤0时，取“=”，
即f（x）的最大值是2；
（Ⅱ）m=-2时，f（x）=|-2x+1|-|x-1|=|2x-1|-|x-1|，
由f（x）≥1，得|2x-1|-|x-1|≥1，
故x≤$\frac{1}{2}$时，-2x+1+x-1≥1，
x≤$\frac{1}{2}$时，-2x+1+x-1≥1，解得：x≤-1，
$\frac{1}{2}$＜x≤1时，2x-1+x-1≥1，解得：x≥1，故x=1，
x＞1时，2x-1-x+1≥1，解得：x≥1，故x＞1，
故不等式的解决是{x|x≤-1或x≥1}．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道中档题．