Question

在直角坐标系xOy中，点P到两点的距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+1与C交于A，B两点．
（1）写出C的方程；  
（2）求k的取值范围    
（3）若，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由点P到两点的距离之和为4，知点P的轨迹C是焦点在y轴的椭圆，由此能求出点C的方程．
（2）联立，得（4k²+1）x²+8kx=0，由直线y=kx+1与C交于A，B两点，知△=64k²-4（4k²+1）＞0，由此能求出k的取值范围．
（3）联立，得（4k²+1）x²+8kx=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），解得=（0，1），=（-，），由，能求出k．
解答：解：（1）∵点P到两点的距离之和为4，
∴点P的轨迹C是焦点在y轴的椭圆，
且a==2，c=，解得b=1，
∴点C的方程为：=1．
（2）联立，消去y，得（4k²+1）x²+8kx=0，
∵直线y=kx+1与C交于A，B两点，
∴△=64k²-4（4k²+1）＞0，
解得k＜-，或k＞．
∴k的取值范围是（-∞，-）∪（，+∞）．
（3）联立，消去y，得（4k²+1）x²+8kx=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），解得，，
∴=（0，1），=（-，），
∵，∴=0+=0，
解得k=．
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查实数k的取值范围的求法，考查满足条件的实数值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意韦达定理、根的判断式、向量知识的合理运用．