Question

10．已知S_n为数列{a_n}的前n项和，a₁=1，S_n+1=4a_n+2．
（1）设数列{b_n}中，b_n=a_n+1-2a_n，求证：{b_n}是等比数列．
（2）设数列{c_n}中，c_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，求证：{c_n}是等差数列．
（3）求数列{a_n}的通项公式及前n项和．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，S_n+1=4a_n+2．可得a₂=5，当n≥2时，a_n+1=S_n+1-S_n，化为a_n+1=4a_n-4a_n-1，变形为：a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），即可证明．
（2）由（1）可得：b_n=3×2^n-1．a_n+1-2a_n=3×2^n-1，两边同除以2ⁿ⁺¹可得：$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}-\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{3}{4}$，即c_n+1-c_n=$\frac{3}{4}$．即可证明．
（3）由（2）可得$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{3n-1}{4}$，可得a_n=（3n-1）×2^n-2．代入S_n+1=4a_n+2，即可得出．

解答 （1）证明：∵a₁=1，S_n+1=4a_n+2．
∴a₂=5，当n≥2时，a_n+1=S_n+1-S_n=4a_n+2-（4a_n-1+2），化为a_n+1=4a_n-4a_n-1，
变形为：a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），
∴b_n=2b_n-1，
∴{b_n}是等比数列，首项为a₂-2a₁=3，公比为2．
（2）证明：由（1）可得：b_n=3×2^n-1．
∴a_n+1-2a_n=3×2^n-1，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}-\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{3}{4}$，
∴c_n+1-c_n=$\frac{3}{4}$．
∴数列{c_n}是等差数列，首项为$\frac{1}{2}$，公差为$\frac{3}{4}$．
（3）解：由（2）可得$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}（n-1）$=$\frac{3n-1}{4}$．
∴a_n=（3n-1）×2^n-2．
∴S_n+1=4a_n+2=（3n-1）×2ⁿ+2．
∴当n≥2时，S_n=（3n-4）×2^n-1+2，
上式对于n=1也成立．
∴S_n=（3n-4）×2^n-1+2．

点评 本题考查了递推关系的应用、等比数列与等差数列通项公式，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．