题目内容
2.数列{an}中,前n项和Sn=n2+2n.(1)求数列的通项公式an;
(2)设Tn=2a1+22a2+…+2nan,求Tn.
分析 (1)利用递推关系即可得出.
(2)2nan=(2n+1)•2n.利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出.
解答 解:(1)∵数列{an}的前n项和Sn=n2+2n.
∴当n=1时,a1=3;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+2n-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1.
当n=1时上式也成立,
∴an=2n+1.
(2)2nan=(2n+1)•2n.
∴Tn=2a1+22a2+…+2nan=3×2+5×22+…+(2n+1)•2n.
2Tn=3×22+5×23+…+(2n-1)•2n+(2n+1)•2n+1,
∴-Tn=6+2×22+2×23+…+2×2n-(2n+1)•2n+1=2+22+…+2n+1-(2n+1)•2n+1=$\frac{2({2}^{n+1}-1)}{2-1}$-(2n+1)•2n+1=(1-2n)•2n+1-2,
∴Tn=(2n-1)•2n+1+2.
点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的前n项和公式、递推关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
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