Question

（本小题满分12）如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝3，BC＝4，，AA₁＝4，点D是AB的中点
（Ⅰ）求证：AC⊥BC₁；
（Ⅱ）求二面角的平面角的正切值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：直三棱柱ABC－A₁B₁C₁，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，

∴ AC⊥BC，                                           …………………1分
又 AC⊥，且
∴ AC⊥平面BCC₁，又平面BCC₁        ……………………………………3分
∴ AC⊥BC₁            ………………………………………………………………4分
（Ⅱ）解法一：取中点，过作于，连接        …………5分

是中点，
∴ ，又平面
∴平面，
又平面，平面
∴
∴ 又且
∴平面，平面         ………7分
∴  又
∴是二面角的平面角      ……………………………………8分
AC＝3，BC＝4，AA₁＝4，
∴在中，，，
∴      …………………………………………11分
∴二面角的正切值为  …………………………………………12分
解法二：以分别为轴建立如图所示空间直角坐标系…………5分

AC＝3，BC＝4，AA₁＝4，
∴， ，，，
∴，

平面的法向量，     …………………7分
设平面的法向量，
则，的夹角（或其补角）的大小就是二面角的大小 …………8分
则由  令，则，
∴                                         ………………10分
，则  　……………11分
∵二面角是锐二面角
∴二面角的正切值为             ………………………… 12分

略