题目内容

证明函数f（x）=ax2+bx+c（a＜0）在(-∞，-
b2a
)上是增函数．
分析：采用定义法证明，先任取x1，x2∈(-∞，-
b
2a
)，且x1＜x2，再求f（x1）-f（x2）的差，根据定义即可证明出．
解答：解：任取x1，x2∈(-∞，-
b
2a
)，且x1＜x2，f(x1)=ax12+bx1+c，f(x2)=ax22+bx2+c
f（x1）-f（x2）=a（x12-x22）+b（x1-x2）=a（x1-x2）（x1+x2）+b（x1-x2）=（x1-x2）[a（x1+x2）+b]
由x1＜x2，x1-x2＜0，而x1＜-
b
2a
，x2＜-
b
2a
，所以x1+x2＜-
b
a
，
又a＜0，所以a(x1+x2)＞(-
b
a
)•a=-b，从而a（x1+x2）+b＞0
由此可知f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
∴函数f（x）=ax2+bx+c（a＜0）在(-∞，-
b
2a
)上是增函数．
点评：本题考查函数单调性的判断与证明，求关键是理解并掌握用定义法证明的规则及证明的步骤，用定义法证明其步骤是：任取，作差，整理，判号，得出结论，其中判号过程易错．
练习册系列答案
相关题目
设定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足；对任意a，b∈（0，+∞），都有f（b）=f（a）-f（
a
b
），且当x＞1时，f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）判断并证明函数f（x）的单调性；
（3）如果f（3）=1，解不等式f（x）-f（
1
x-8
）＞2．
已知函数f(x)=
ax-1ax+1
，
（1）判断函数的奇偶性；
（2）当x≥0时，求函数f（x）的值域；
（3）当a＞1时，判断并证明函数f（x）的单调性．
已知定义在实数集上的函数y=f（x）满足条件：对于任意的x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求证：f（0）=0；
（2）若f（x）是奇函数，试举出两个这样的函数；
（3）若当x≥0时，f（x）＜0，
1）试判断函数f（x）在R上的单调性，并证明之；
2）判断函数|f（x）|=a．所有可能的解的个数，并求出对应的a的范围；
己知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：
①当x1，x2是定义域中的数时，有f（x1-x2）=
f(x1)•f(x2)+1f(x2)-f(x1)
；
②f（a）=-1（a＞0，a是定义域中的一个数）；
③当0＜x＜2a时，f（x）＜0．
（1）试证明函数f（x）是奇函数．
（2）试证明f（x）在（0，4a）上是增函数．
已知函数f（x）=
a(2x+1)-22x+1
，
（Ⅰ）若函数f（x）是奇函数，求实数a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）在条件下判断函数f（x）的单调性，并用定义加以证明．

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