Question

已知函数f(x)=

ax-1

ax+1

，
（1）判断函数的奇偶性；
（2）当x≥0时，求函数f（x）的值域；
（3）当a＞1时，判断并证明函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（1）用定义法，先看定义域是否关于原点对称，再研究f（-x）与f（x）的关系．若相等，则为偶函数；若相反，则为奇函数；
（2）先将函数式变形f（x）=

ax+1-2

ax+1

=1-

2

ax+1

，再对a进行分类讨论：当a＞1时；当0＜a＜1分别求出即f（x）的值域，最后综合即可；
（3）用定义法，先在定义域上任取两个变量，且界定大小，再作差变形看符号．当自变量变化与函数值变化一致时，为增函数；当自变量变化与函数值变化相反时，为减函数．

解答：解：（1）∵定义域为R，且f（-x）=

a-x-1

a-x+1

=

1-ax

1+ax

=-f(x)，∴f（x）是奇函数．
（2）f（x）=

ax+1-2

ax+1

=1-

2

ax+1

，
当a＞1时
∵x≥0
∴a^x+1≥2，
∴0＜

2

ax+1

≤1，
即f（x）的值域为[0，1）；
当0＜a＜1时
∵x≥0
∴1＜a^x+1≤2，
∴1≤

2

ax+1

＜2，
即f（x）的值域为（-1，0]．
∴当a＞1时，f（x）的值域为[0，1）；当0＜a＜1时，f（x）的值域为（-1，0]．
（3）当a＞1时，函数f（x）是R上的增函数
设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=

ax1-1

ax+1

-

ax2-1

ax2+1

=

2ax1-2ax2

(ax1+1)(ax2+1)

＜0
∵分母大于零，且a x 1＜a x 2，
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）是R上的增函数．

点评：本题考查的知识点是指数函数综合题，函数奇偶性的判断与函数单调性的判断及指数函数的值域和单调性，熟练掌握函数的各种性质及判断方法是解答本题的关键．