Question

已知函数f（x）=

a(2x+1)-2

2x+1

，
（Ⅰ）若函数f（x）是奇函数，求实数a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）在条件下判断函数f（x）的单调性，并用定义加以证明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由 函数f（x）是奇函数可得f（0）=

2a-2

2

=0，由此解得a的值．
（Ⅱ）在（Ⅰ）在条件下，函数f（x）=1-

2

2x+1

，设x₁＜x₂，根据f（x₁）-f（x₂）=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

＜0，可得函数f（x）在R上单调递增．

解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）是奇函数，∴f（0）=

2a-2

2

=0，解得a=1．
（Ⅱ）在（Ⅰ）在条件下，函数f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，
设x₁＜x₂，根据f（x₁）-f（x₂）=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

( 2x2+1)(2x1+1)

，
由题设可得0＜2x1＜2x2，∴

2(2x1-2x2)

( 2x2+1)(2x1+1)

＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故函数f（x）在R上单调递增．

点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断和证明，属于中档题．