Question

【题目】已知圆以原点为圆心，且圆与直线相切.

（Ⅰ）求圆的方程；

（Ⅱ）若直线：与圆交于、两点，分别过、两点作直线的垂线，交轴于、两点，求线段的长.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）化直线方程为一般式，利用点到直线的距离公式求出圆的半径，则圆的方程可求；

（Ⅱ）由点到直线距离公式求出O到AB的距离，结合垂径定理求出AB，过C点作CE⊥BD垂足为E，可得CE＝AB＝2．结合yx+2的倾斜角为30°，求解三角形可得线段CD的长．

（Ⅰ）把直线化为一般式，得，

原点到直线的距离，

∴圆的半径，∴圆的方程为.

（Ⅱ）依题意画出示意图，如图.

点到直线：的距离，

∵圆的半径为2，∴，

过点作垂足为，∴，

又∵的倾斜角为，∴，

∴，∴线段的长为.