Question

x+y+z=1，F=2x²+y²+3z²的最小值为（　　）

• A．

  6

  11

• B．

  7

  13

• C．

  5

  8

• D．

  4

  9

Answer 1

分析：利用柯西不等式得，（2x²+y²+3z²）（

1

2

+1+

1

3

）≥（2x2×

1

2

+y2×1+3z2×

1

3

）²²，利用条件可求．

解答：解：由柯西不等式得，（2x²+y²+3z²）（

1

2

+1+

1

3

）≥（2x2×

1

2

+y2×1+3z2×

1

3

）²²=（x+y+z）²=1
∴2x²+y²+3z²≥

6

11

，即F的最小值为

6

11

故选A．

点评：柯西不等式的特点：一边是平方和的积，而另一边为积的和的平方，因此，当欲证不等式的一边视为“积和结构”或“平方和结构”，再结合不等式另一边的结构特点去尝试构造．