Question

设f(x，y，z)=

x(2y-z)

1+x+3y

+

y(2z-x)

1+y+3z

+

z(2x-y)

1+z+3x

，其中x，y，z≥0，且x+y+z=1． 求f（x，y，z）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：欲求f（x，y，z）的最大值和最小值，本题可转化为证明0≤f（x，y，z）≤

1

7

．利用柯西不等式，即可证得．

解答：解：先证f≤

1

7

，当且仅当x=y=z=

1

3

时等号成立．
因f=Σ

x(x+3y-1)

1+x+3y

=1-2Σ

x

1+x+3y

…（*）
由柯西不等式：Σ

x

1+x+3y

≥

(Σx)2

Σx(1+x+3y)

=

1

Σx(1+x+3y)

，
因为Σx(1+x+3y)=Σx(2x+4y+z)=2+Σxy≤

7

3

．
从而 Σ

x

1+x+3y

≥

3

7

，f≤1-2×

3

7

=

1

7

，fmax=

1

7

，当且仅当x=y=z=

1

3

时等号成立．
再证f≥0，当x=1，y=z=0时等号成立．
事实上，f(x，y，z)=

x(2y-z)

1+x+3y

+

y(2z-x)

1+y+3z

+

z(2x-y)

1+z+3x

=xy(

2

1+x+3y

-

1

1+y+3z

)+xz(

2

1+z+3x

-

1

1+x+3y

)+yz(

2

1+y+3z

-

1

1+z+3x

)=

7xyz

(1+x+3y)(1+y+3z)

+

7xyz

(1+z+3x)(1+x+3y)

+

7xyz

(1+y+3z)(1+z+3x)

≥0
故f_min=0，当x=1，y=z=0时等号成立．
故f（x，y，z）的最大值和最小值分别为

1

7

，0．

点评：本题考查柯西不等式，主要考查函数的最值，正确运用柯西不等式是关键．