Question

过抛物线y²=2px(p＞0)的焦点作倾斜角为θ的直线l，设l交抛物线于A、B两点，(1)求|AB|；(2)求|AB|的最小值.

Answer 1

思路分析：本题考查抛物线的焦点弦及通径问题.经过抛物线的焦点的直线方程我们可以设出来，然后联立该方程与抛物线的方程得到一个方程组，即可解得其关系.

解：(1)当θ=90°时，直线AB的方程为x=.由

得A(，-p)、B(，p).∴|AB|=2p.

当θ≠90°时，直线AB的方程为y=(x-)tanθ.由

得tan²θ·x²-(2p+ptan²θ)x+·tan²θ=0.

设A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，则x₁+x₂=，

∴|AB|=x₁++x₂+=p+=.

(2)由(1)知，当θ=90°时，|AB|最小值为2p.

    深化升华 求过抛物线焦点的弦长问题，一般是把弦分成两条焦半径，利用焦半径公式结合韦达定理来求，过焦点的最短弦(与对称轴垂直)是抛物线的通径.