Question

设函数

（1）若时，函数有三个互不相同的零点，求的取值范围；

（2）若函数在内没有极值点，求的取值范围；

（3）若对任意的，不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）时，，有三个互不相同的零点，即有三个互不相同的实数根，构造函数确定函数的单调性，求函数的极值，从而确定的取值范围；

（2）要使函数在内没有极值点，只需在上没有实根即可，即的两根或不在区间上；

（3）求导函数来确定极值点，利用的取值范围，求出在上的最大值，再求满足时的取值范围．

（1）当时，.

因为有三个互不相同的零点，所以，即有三个互不相同的实数根.

令，则.

令，解得；令，解得或.

所以在和上为减函数，在上为增函数.

所以，.

所以的取值范围是.

（2）因为，所以.

因为在内没有极值点，所以方程在区间上没有实数根，

由，二次函数对称轴，

当时，即，解得或，

所以，或（不合题意，舍去），解得.

所以的取值范围是；

（3）因为，所以或，且时，，.

又因为，所以在上小于0，是减函数；

在上大于0，是增函数；

所以，而，

所以，

又因为在上恒成立，所以，即，即，在上恒成立.

因为在上是减函数，最小值为-87.

所以，即的取值范围是.

考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．