题目内容
19．设向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，|$\overrightarrow{a}$|≥1，|$\overrightarrow{b}$|≥3，且|$\overrightarrow{a}$|，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，|$\overrightarrow{b}$|成等比数列，则cos2θ的最大值为$-\frac{1}{3}$．分析 首先根据三个数成等比数列得到cos2θ=$\frac{1}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$，根据，|$\overrightarrow{a}$|≥1，|$\overrightarrow{b}$|≥3，得到范围，然后利用倍角公式变形求最大．
解答 解：因为设向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，|$\overrightarrow{a}$|≥1，|$\overrightarrow{b}$|≥3，且|$\overrightarrow{a}$|，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，|$\overrightarrow{b}$|成等比数列，所以|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|=（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$）2，所以cos2θ=$\frac{1}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$$≤\frac{1}{3}$，所以cos2θ$≤-\frac{1}{3}$，则cos2θ的最大值为$-\frac{1}{3}$；
故答案为：-$\frac{1}{3}$．
点评 本题考查了平面向量的数量积以及倍角公式的运用；关键是由已知得到2θ的余弦值的范围．
练习册系列答案
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7．已知空间两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下能推出“α⊥β”的是（ ）
| A． | m⊥n，m∥α，n∥β | B． | m∥n，m⊥α，n⊥β | C． | m⊥n，m⊥α，α∩β=n | D． | m∥n，m⊥α，n?β |
中,角
、
、
所对的边分别为
、
、
，且满足
. 
，求角
如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、CA、AB上，2$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{FB}$，3$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{DC}$，3$\overrightarrow{CE}$=2$\overrightarrow{EA}$．设CF与AD交于p点，AD与BE交于Q点，BE与CF交于R点．