Question

4．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为DD₁、BD的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面ABC₁D₁
（Ⅱ）求证：EF⊥B₁C
（Ⅲ）求三棱锥A₁-ABD₁的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结BD₁，则EF∥D₁B，由此能证明EF∥平面ABC₁D₁．
（Ⅱ）由B₁C⊥AB，B₁C⊥BC₁，知B₁C⊥平面ABC₁D₁，由此能证明EF⊥B₁C．
（Ⅲ）三棱锥A₁-ABD₁的体积${V_{{A_1}-AB{D_1}}}={V_{{D_1}-{A_1}AB}}$，由此能求出结果．

解答 （本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）连结BD₁，
在△DD₁B中，E、F分别为D₁D，DB的中点，则EF∥D₁B，
又∵D₁B?平面ABC₁D₁，EF?平面ABC₁D₁，
∴EF∥平面ABC₁D₁．（3分）
（Ⅱ）∵B₁C⊥AB，B₁C⊥BC₁，
AB?平面ABC₁D₁，BC₁?平面ABC₁D₁，
AB∩BC₁=B，
∴B₁C⊥平面ABC₁D₁．
又∵BD₁?平面ABC₁D₁，∴B₁C⊥BD₁，
而EF∥BD₁，∴EF⊥B₁C．（8分）
解：（Ⅲ）三棱锥A₁-ABD₁的体积：
${V_{{A_1}-AB{D_1}}}={V_{{D_1}-{A_1}AB}}$=$\frac{1}{3}×{S}_{△{A}_{1}AB}×{A}_{1}{D}_{1}$
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×A{A}_{1}×AB×{A}_{1}{D}_{1}$
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2=\frac{4}{3}$．（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．