Question

如图，在平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=1，∠B=90°，∠C=135°，沿对角线AC将△ABC折起，使平面ABC⊥平面ACD．
（I）求证：平面ABD⊥平面BCD；
（II）求二面角B-AD-C的大小．

Answer 1

分析：（I）由AB⊥BC，由DC⊥平面ABC，可得  AB⊥CD，故有AB⊥平面BCD，可得平面ABD⊥平面PCD．
（II）设AC的中点为O，连接BO，过O作OE⊥AD于E，可证∠BEO为二面角B-AD-C的平面角，解直角三角形BEO，可求此角的大小．

解答：解：（I）证明：∵∠B=90°，∴AB⊥BC．
∵AB=BC，∴∠BCA=∠BAC=45°．（1分）
又平面四边形ABCD中，∠C=135°，
∴∠DCA=90°∴DC⊥AC（2分）
∵平面ABC⊥平面ACD，平面ABC∩平面ACD=AC，DC?平面ACD，
∴DC⊥平面ABC，∴AB⊥CD（4分）
∵DC∩BC=C，∴AB⊥平面BCD（5分）
∵AB?平面ABD，∴平面ABD⊥平面PCD．（6分）

（II）解：设AC的中点为O，连接BO，过O作OE⊥AD于E，连接BE．
∵AB=BC，O为AC中点．∴BO⊥AC，（7分）
∵平面ABC⊥平面ACD，平面ABC∩平面ACD=AC，
BO?平面ABC，∴BO⊥平面ACD．（8分）
∵OE⊥AD，
∴BE⊥AD，∴∠BEO为二面角B-AD-C的平面角．（10分）
在Rt△ABC中，BO=

2

2

，AC=

2

∴在Rt△DCA中，AD=

3

，∴OE=

6

6

．（11分）
∴在Rt△BOE中，tan∠BEO=

BO

OE

=

2 2

6 6

=

3

，∴∠BEO=60°（13分）
∴二面角B-AD-C的大小为60°（14分）

点评：证明两个平面垂直，关键在一个面内找到一条直线和另一个平面垂直，利用三垂线定理找出二面角的平面角，解三角形求出此角．