题目内容

O是△ABC所在平面上的一定点，动点P满足
OP
=
OA
+λ(
AB
|
AB
|cos∠B
+
AC
|
AC
|cos∠C
)，λ∈[0，+∞），则点P 形成的图形一定通过△ABC 的
 
．（填外心或内心或重心或垂心）
分析：可先根据数量积为零得出
BC
与λ（
AB
|
AB
| cosB
+
AC
|
AC
| cosC
）垂直，可得点P在BC的高线上，从而得到结论．
解答：解：∵
BC
•（
AB
|
AB
| cosB
+
AC
|
AC
| cosC
）=-|BC|+|BC|=0
∴
BC
与λ（
AB
|
AB
| cosB
+
AC
|
AC
| cosC
）垂直
∵
OP
=
OA
+λ(
AB
|
AB
|cos∠B
+
AC
|
AC
|cos∠C
)
∴点P在BC的高线上，即P的轨迹过△ABC的垂心
故答案为：垂心．
点评：本题主要考查了空间向量的加减法，以及三角形的五心等知识，解答关键是得出出
BC
与λ（
AB
|
AB
| cosB
+
AC
|
AC
| cosC
）垂直，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知：O是△ABC所在平面上的一点且满足：
OA
+
sinA
sinA+sinB
(
OB
-
OA
)+
sinB
sinB+sinA
(
OC
-
OA
)=
0
，则点O在（　　）
A、AB边上B、AC边上
C、BC边上D、△ABC内心
已知O是△ABC所在平面上的一点，A、B、C所对的边的分别为a，b，c，若a
OA
+b
OB
+c
OC
=
0
，则O是△ABC的（　　）
已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且4
OA
+
OB
+
OC
=
0
，那么（　　）
在△ABC中，给出如下命题：
①若
AC
•
AB
＞0，则△ABC为锐角三角形；
②O是△ABC所在平面内一定点，且满足
OA
•
OB
=
OB
•
OC
=
OC
•
OA
，则O是△ABC的垂心；
③O是△ABC所在平面内一定点，动点P满足
OP
=
OA
+λ(
AB
+
AC
)，λ∈[0，+∞)，则动点P一定过△ABC的重心；
④O是△ABC内一定点，且
OA
+
OB
+
OC
=
0
，则
S△AOC
S△ABC
=
1
3
；
⑤若(
AB
|
AB
|
+
AC
|
AC
|
)•
BC
=0，且
AB
|
AB
|
•
AC
|
AC
|
=
1
2
，则△ABC为等腰直角三角形．
其中正确的命题为
②③④
②③④
（将所有正确命题的序号都填上）．
已知O是△ABC所在平面内一点，且满足
BA
•
OA
+|
BC
|2=
AB
•
OB
+|
AC
|2，则点O（　　）

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