Question

【题目】如图所示，半圆弧所在平面与平面垂直，且是上异于，的点，，，.

（1）求证：平面；

（2）若为的中点，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）取的中点为，连接，利用勾股定理，证得，在利用面面垂直的性质，证得平面，最后利用线面垂直的判定定理，即可证得平面；

（2）以为坐标原点，分别以为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面和平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解．

（1）取的中点为，连接，

因为，所以，又，所以四边形为平行四边形，

又，，所以为正方形，不妨设，

则，，，

所以，即，

又平面平面，平面平面，所以平面，

又平面，所以，

因为是半圆弧上异于，的点，所以，又，

所以平面；

（2）取的中点为，连接，，则，所以，

当为的中点时，有，则，

因为平面平面，平面平面，所以平面，

以为坐标原点，分别以为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

由（1）知，，，，，

，， ，

设是平面的一个法向量，则，即，

令，则，，，

设是平面的一个法向量，则，即，

令，则，，，

所以，

由图可知所求二面角为钝角，

所以二面角的余弦值为.