Question

15．数列{a_n}的前n项和为S_n=-n²+16n，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式：
（2）若b_n=|a_n|，求数列{a_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过S_n=-n²+16n与S_n+1=-（n+1）²+16（n+1）作差、整理可知a_n+1=-2（n+1）+17，进而计算可得结论；
（2）通过（1）易知当n≤8时b_n=a_n，当n≥9时b_n=-a_n，分n≤8、n≥9两种情况讨论、计算即得结论．

解答 解：（1）∵S_n=-n²+16n，
∴S_n+1=-（n+1）²+16（n+1），
两式相减得：a_n+1=-2n+15=-2（n+1）+17，
又∵a₁=-1+16=15满足上式，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=-2n+17；
（2）由（1）易知当n≤8时a_n＞0，当n≥9时a_n＜0，
∴当n≤8时b_n=a_n，当n≥9时b_n=-a_n，
∴当n≤8时，T_n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$=$\frac{n（15-2n+17）}{2}$=-n²+16n；
当n≥9时，T_n=a₁+a₂+…+a₈-a₉-a₁₀-…-a_n
=2T₈-（a₁+a₂+…+a_n）
=2（-8²+16×8）-$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$
=2（-8²+16×8）-$\frac{n（15-2n+17）}{2}$
=2（-8²+16×8）-（-n²+16n）
=n²-16n+128；
∴数列{a_n}的前n项和T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-{n}^{2}+16n，}&{n≤8}\\{{n}^{2}-16n+128，}&{n≥9}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．