Question

设函数f（x）=log_a（x-3a），g（x）=log_a

1

x-a

，（a＞0且a≠1）．
（1）若a=

1

25

，当x∈[

1

25

+2，

1

25

+3]时，求证：|f（x）-g（x）|＜1；
（2）当x∈[a+2，a+3]时，恒有|f（x）-g（x）|≤1，试确定a的取值范围．

Answer 1

分析：f（x）-g（x）=log_a（x-3a）（x-a）=log_a（x²-4ax+3a²），令h（x）=x²-4ax+3a²，则h（x）_min=h（a+2）=4-4a，h（x）_max=h（a+3）=9-6a．
（1）若a=

1

25

，则

96

25

≤h(x)≤

219

25

，由此能导出∴f（x）-g（x）|＜1．
（2）由题意，x-3a＞0在[a+2，a+3]上恒成立，则a+2-3a＞0?a＜1，由题设知

loga(4-4a)≤1?a≤ 4 5 loga(9-6a)≥-1?a≤ 9- 57 12 或a≥ 9+ 57 12

，由此能导出a的取值范围．

解答：解：f（x）-g（x）=log_a（x-3a）（x-a）=log_a（x²-4ax+3a²）
令h（x）=x²-4ax+3a²，则当0＜a＜1时，h（x）的对称轴x=2a＜a+2
故h（x）在[a+2，a+3]上单调递增，
∴h（x）_min=h（a+2）=4-4a，h（x）_max=h（a+3）=9-6a（6分）
（1）若a=

1

25

，则

96

25

≤h(x)≤

219

25

，
∴-1＜log

1

25

219

25

≤log

1

25

h(x)≤log

1

25

96

25

＜0，
∴|f（x）-g（x）|＜1（9分）

（2）由题意，x-3a＞0在[a+2，a+3]上恒成立，则a+2-3a＞0?a＜1
又a＞0且a≠1∴0＜a＜1（12分）

loga(4-4a)≤1?a≤ 4 5 loga(9-6a)≥-1?a≤ 9- 57 12 或a≥ 9+ 57 12

（16分）
故0＜a≤

9- 57

12

（18分）

点评：本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解，注意公式的合理运用．