Question

已知函数，，其中.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；
（Ⅲ）设函数，当时，若，，总有成立，求实数的取值范围.

Answer 1

(1)见解析；(2);(3).

试题分析：(1)求出，然后根据 的符号讨论的单调性；（2）求出，然后将条件转化为 ， .然后分离参数得到，然后用基本不等式求得即可得到 的取值范围；（3）将“若，，总有成立”转化成“ 在 上的最大值不小于 在 上的最大值”即可求得的取值范围.
试题解析：（1）的定义域为，且，
①当 时， ， 在 上单调递增；
②当 时，由，得 ；由 ，得 ；
故 在 上单调递减，在 上单调递增.
(2) , 的定义域为 . .
因为 在其定义域内为增函数，所以 ， .
 .
而 ，当且仅当 时取等号，所以 .
(3)当 时， ， .
由 得 或 .
当 时， ；当 时， .
所以在 上， .
而“，，总有成立”等价于“ 在 上的最大值不小于 在 上的最大值”.
而 在 上的最大值为 ，
所以有.
所以实数的取值范围是.