题目内容
两数列{an},{bn}满足bn=
,若{bn}是等差数列，求证：{an}也是等差数列.
证明：由已知可得bn=a1+2a2+3a3+…+nan(n=1,2,3,…),
∴
bn-1=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n=2,3,4,…).
两式相减得
-
=nan.
∴an=
［(n+1)bn-(n-1)bn-1］(n=2,3,4,…). ①
∵{bn}是等差数列，设公差为d,则bn=b1+(n-1)d.
代入①得an=
{(n+1)［b1+(n-1)d］-(n-1)·［b1+(n-2)d］}=b1+
(n-1)d(n=2,3,4,…).
又在bn=
中，
令n=1,得b1=a1.
∴an=a1+
(n-1)d(n=1,2,3…).
∴an-an-1=［a1+
(n-1)d］-［a1+
(n-2)d］=
d(常数)(n=2,3,…).
∴数列{an}也是等差数列.
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