Question

已知等差数列{ a_n }中，前n项和S_n满足：S₁₀+S₂₀=1590，S₁₀-S₂₀=-930．
（1）求数列{ a_n }的通项公式以及前n项和公式；
（2）是否存在三角形同时具有以下两个性质，如果存在，请求出三角形的三边长和b值；如果不存在，请说明理由．
①三边是数列{ a_n+b}中的连续三项，其中b∈N*；
②最小角是最大角的一半．

Answer 1

分析：（1）先求出S₁₀=330，S₂₀=1260，再利用等差数列前n项和公式可得结论；
（2）假设存在，三边为6n+b，6n+b+6，6n+b+12，设x=6n+b（x＞6），则三边为x，x+6，x+12，利用余弦定理及二倍角公式可得结论．

解答：解：（1）由S₁₀+S₂₀=1590，S₁₀-S₂₀=-930，可得：S₁₀=330，S₂₀=1260．
由等差数列前n项和公式可得：10a₁+45d=330，20a₁+190d=1260，可得：a₁=6，d=6，
所以a_n=6+（n-1）×6=6n，S_n=6n+3n（n-1）；
（2）假设存在，三边为6n+b，6n+b+6，6n+b+12，设x=6n+b（x＞6），则三边为x，x+6，x+12，
设最小角为α，则最大角为2α，∴cosα=

x2+36x+180

2(x+6)(x+12)

=

x+30

2(x+12)

，cos2α=

x2-12x-108

2x(x+6)

=

x-18

2x

∵cos2α=2cos²α-1，∴

x-18

2x

=2[

x+30

2(x+12)

]²-1
∴

x-18

x

=

-(x-6)2+648

(x+12)2

，此方程无解，∴不存在．

点评：本题考查数列的通项与求和，考查余弦定理、二倍角公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．